Đại số tuyến tính Ví dụ

$8 x + 6 y = - 4$ , $9 x - 6 y = - 81$

Bước 1

Tìm $A X = B$ từ hệ phương trình.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ 9 & - 6 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 81 \end{array}]$

Bước 2

Tìm nghịch đảo của ma trận hệ số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Bước 2.2

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$8 \cdot - 6 - 9 \cdot 6$

Bước 2.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nhân $8$ với $- 6$ .

$- 48 - 9 \cdot 6$

Bước 2.2.2.1.2

Nhân $- 9$ với $6$ .

$- 48 - 54$

Bước 2.2.2.2

Trừ $54$ khỏi $- 48$ .

$- 102$

Bước 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Bước 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 102} [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ - 9 & 8 \end{array}]$

Bước 2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{102} [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ - 9 & 8 \end{array}]$

Bước 2.6

Nhân $- \frac{1}{102}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{102} \cdot - 6 & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{102}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{102} \cdot - 6 & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.1.2

Đưa $6$ ra ngoài $102$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 (17)} \cdot - 6 & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.1.3

Đưa $6$ ra ngoài $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 \cdot 17} \cdot (6 \cdot - 1) & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.1.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 \cdot 17} \cdot (6 \cdot - 1) & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.1.5

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{17} \cdot - 1 & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.2

Kết hợp $\frac{- 1}{17}$ và $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{17} & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{102}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- 1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.4.2

Đưa $6$ ra ngoài $102$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- 1}{6 (17)} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.4.3

Đưa $6$ ra ngoài $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- 1}{6 \cdot 17} \cdot (6 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- 1}{6 \cdot 17} \cdot (6 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.4.5

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- 1}{17} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.5

Kết hợp $\frac{- 1}{17}$ và $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- - 1}{17} \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{102}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- 1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.7.2

Đưa $3$ ra ngoài $102$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- 1}{3 (34)} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.7.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 34} \cdot (3 \cdot - 3) & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.7.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 34} \cdot (3 \cdot - 3) & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.7.5

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- 1}{34} \cdot - 3 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.8

Kết hợp $\frac{- 1}{34}$ và $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- - 3}{34} & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.9

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.10.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{102}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.10.2

Đưa $2$ ra ngoài $102$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1}{2 (51)} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.10.3

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1}{2 \cdot 51} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

Bước 2.7.10.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1}{2 \cdot 51} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

Bước 2.7.10.5

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1}{51} \cdot 4 \end{array}]$

Bước 2.7.11

Kết hợp $\frac{- 1}{51}$ và $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1 \cdot 4}{51} \end{array}]$

Bước 2.7.12

Nhân $- 1$ với $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 4}{51} \end{array}]$

Bước 2.7.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{4}{51} \end{array}]$

Bước 3

Nhân vào phía bên trái hai vế phương trình với ma trận nghịch đảo.

$([\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{4}{51} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 & 6 \\ 9 & - 6 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{4}{51} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 4 \\ - 81 \end{array}]$

Bước 4

Bất kỳ ma trận nào nhân với nghịch đảo của nó cũng sẽ luôn bằng $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{4}{51} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 4 \\ - 81 \end{array}]$

Bước 5

Nhân $[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{4}{51} \end{array}] [\begin{array}{c} - 4 \\ - 81 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Bước 5.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} \cdot - 4 + \frac{1}{17} \cdot - 81 \\ \frac{3}{34} \cdot - 4 - \frac{4}{51} \cdot - 81 \end{array}]$

Bước 5.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$[\begin{array}{c} - 5 \\ 6 \end{array}]$

Bước 6

Rút gọn vế trái và vế phải.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \\ 6 \end{array}]$

Bước 7

Tìm đáp án.

$x = - 5$

$y = 6$